Pour chacun des enseignements suivant, j'ai participé, en équipe, à la préparation des feuilles de TD, à l'élaboration des sujets d'examens, la surveillance et la correction des copies.
Nombres complexes : racines de l'unité, résolution d'équations dans C, calcul dans C et formule du binôme de Newton.
Polynômes : division Euclidienne, théorème de Bézout, racines et ordres de multiplicité, décomposition en facteurs irréductibles dans R et C, fractions rationnelles et décomposition en éléments simples.
Systèmes linéaires : algorithme de Gauss et introduction au calcul matriciel.
Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels, somme de deux sous-espaces vectoriels. Application aux systèmes linéaires homogènes. Famille libre, génératrice, base. Dimension d'un espace vectoriel. Applications linéaires, matrice d'une application linéaire. Opérations sur les matrices. Notion de noyau, d'image et théorème du rang. Introduction au déterminant : multilinéarité, antisymétrie. Calculs pratiques.
Nombres réels : ordre, inégalités, opérations ensemblistes sur les intervalles. Notion de borne supérieure. \'Etude des suites réelles, notion de limite. Convergence (opérations sur les suites convergentes ; convergence des suites monotones). Notion de suite de Cauchy.
Notions générales sur les fonctions : injection, surjection, bijection. Limites de fonctions, continuité, image d'une suite par une fonction continue, théorème des valeurs intermédiaires. Fonctions continues monotones. Dérivabilité, théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, formules de Taylor et développements limités. Réciproques des fonctions usuelles.
Calcul de primitives : intégration par parties, changement de variable, intégration des fonctions rationnelles. \'Equations différentielles linéaires d'ordre 1.
Formes bilinéaires, signature d'une forme quadratique, utilisation des formes quadratiques pour le calcul d'extréma de fonctions de plusieurs variables.
Le but de ce TD est d'apprendre à écrire une preuve mathématique, de pouvoir utiliser divers types de raisonnement (par récurrence, par l'absurde, par contraposée, etc.), de savoir utiliser les connecteurs et quantificateurs et écrire des preuves les utilisant. Pour cela de nombreux exemples de définitions formelles sont étudiées : opérations ensemblistes, applications, injections, surjections, relations d'équivalence et d'ordre, lois de composition interne, groupes, anneaux, corps.
Une partie est consacrée à la lecture et à l'utilisation de livres mathématiques. Finalement, lors d'une séance sur ordinateur, on apprend à chercher sur Internet.
Une première partie sur l'algèbre linéaire : la résolution de systèmes linéaires, les espaces vectoriels de dimension finie et les applications linéaires. Une seconde partie sur le calcul intégral et les équations différentielles linéaires. Finalement dans le cadre de la pratique de l'oral en mathématiques, tout étudiant doit, lors d'une séance de TD, faire un exposé mathématique de 15 minutes sur un sujet de son choix, après consultation de l'enseignant.